Уравнение \(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-\frac{15\pi}{4}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -4\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+2\pi n \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -4\leqslant \frac{1}{4}+2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small :}\)
\(\displaystyle -4- \frac{1}{4}\leqslant \frac{1}{4}+2n- \frac{1}{4}\leqslant -\frac{5}{2}- \frac{1}{4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{17}{4}\leqslant2n \leqslant -\frac{11}{4}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{17}{8}\leqslant n \leqslant -\frac{11}{8}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -2,\) то есть \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-2\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi \cdot (-2)=-\frac{15\pi}{4}{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -4\pi\leqslant -\frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -4\leqslant -\frac{1}{4}+2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Прибавим к каждой части \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small :}\)
\(\displaystyle -4+ \frac{1}{4}\leqslant -\frac{1}{4}+2n + \frac{1}{4}\leqslant -\frac{5}{2}+ \frac{1}{4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{15}{4}\leqslant2n \leqslant -\frac{9}{4}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{15}{8}\leqslant n \leqslant -\frac{9}{8}{ \small .}\)
Целых чисел в данном промежутке НЕТ.
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]\) имеет решение \(\displaystyle -\frac{15\pi}{4}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{15\pi}{4}{\small .}\)