Уравнение \(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) и \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=0\) из промежутка \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-4\pi\)
\(\displaystyle x_2=-3\pi\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -4\pi\leqslant 2\pi n\leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -4\leqslant 2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -2\leqslant n \leqslant -\frac{5}{4}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -2{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-2\) в \(\displaystyle 2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 2\pi \cdot (-2)=-4\pi{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -4\pi\leqslant \pi+2\pi n\leqslant- \frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -4\leqslant 1+2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle 1{\small :}\)
\(\displaystyle -4-1\leqslant 1+2n- 1\leqslant -\frac{5}{2}-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle -5\leqslant 2n \leqslant -\frac{7}{2}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{4}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -2{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-2\) в \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot (-2)=-3\pi{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]\) имеет решения \(\displaystyle -4\pi\) и \(\displaystyle -3\pi{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -4\pi\) и \(\displaystyle -3\pi{\small .}\)