Иррационал теңдеуді шешіңіз («;» арқылы түбірлер жиынын жазыңыз, егер шешімдер жоқ болса, онда жауап бос жиын болады):
\(\displaystyle \sqrt{x^2-3x-17}=-x-2\)
\(\displaystyle x\in \)
Иррационал теңдеу \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) жүйеге мәндес
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Осы ережені \(\displaystyle \sqrt{x^2-3x-17}=-x-2{\small }\) теңдеу үшін қолданайық
Сонда \(\displaystyle \sqrt{x^2-3x-17}=-x-2\) теңдеу жүйеге мәндес болады.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-3x-17&=(-x-2)^2{ \small ,}\\-x-2&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Жүйедегі бірінші теңдеуді шешеміз және алынған шешімдердің қайсысы жүйенің екінші теңсіздігін қанағаттандыратынын тексереміз.
\(\displaystyle x^2-3x-17=(-x-2)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-3x-17=x^2+4x+4{ \small ,}\)
\(\displaystyle 7x=-21{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=-3{\small .}\)
Түбір \(\displaystyle x=-3\) теңсіздігін \(\displaystyle -x-2\ge 0{ \small }\) қанағаттандырады, өйткені
\(\displaystyle -(-3)-2\ge 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1\ge 0{\small .}\)
Сонымен, \(\displaystyle x=-3\)– иррационал теңдеудің шешімі болып табылады.
Жауабы: \(\displaystyle -3{\small .}\)