Решите иррациональное уравнение (если решения нет, то в ответе запишите пустое множество):
\(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\)
\(\displaystyle x\in\)
Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-4x+4&=(-x+2)^2{ \small ,}\\-x+2&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим первое уравнение в системе и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.
\(\displaystyle x^2-4x+4=(-x+2)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-4x+4=x^2-4x+4{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0=0{ \small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x^2-4x+4&=(-x+2)^2{ \small ,}\\ -x+2&\ge 0 \end{aligned} \right.\) | равносильно неравенству | \(\displaystyle -x+2\ge 0\) | или | \(\displaystyle x\le 2{\small .}\) |
Таким образом,
уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\) равносильно неравенству \(\displaystyle x \le 2{\small ,}\) то есть
\(\displaystyle x\in (-\infty;\, 2]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\, 2]{\small .}\)