Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\)

Задание

Решите иррациональное уравнение (если решения нет, то в ответе запишите пустое множество):

\(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-4x+4&=(-x+2)^2{ \small ,}\\-x+2&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим первое уравнение в системе и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.

Любое число является решением уравнения \(\displaystyle x^2-4x+4=(-x+2)^2{\small .}\)

\(\displaystyle x^2-4x+4=(-x+2)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-4x+4=x^2-4x+4{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0=0{ \small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x^2-4x+4&=(-x+2)^2{ \small ,}\\ -x+2&\ge 0 \end{aligned} \right.\)

равносильно неравенству\(\displaystyle -x+2\ge 0\)или\(\displaystyle x\le 2{\small .}\)

 

Таким образом,

уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\) равносильно неравенству \(\displaystyle x \le 2{\small ,}\) то есть

\(\displaystyle x\in (-\infty;\, 2]{\small .}\)
 

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\, 2]{\small .}\)