Иррационал теңдеуді шешіңіз (егер шешімі болмаса, жауапта бос жиынды жазыңыз):
\(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\)
\(\displaystyle x\in\)
Иррационал теңдеу \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) жүйеге мәндес
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Осы ережені \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2{\small }\) теңдеу үшін қолданайық
Сонда \(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\) теңдеу жүйеге мәндес болады.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-4x+4&=(-x+2)^2{ \small ,}\\-x+2&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Жүйедегі бірінші теңдеуді шешеміз және алынған шешімдердің қайсысы жүйенің екінші теңсіздігін қанағаттандыратынын тексереміз.
\(\displaystyle x^2-4x+4=(-x+2)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-4x+4=x^2-4x+4{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0=0{ \small .}\)
Демек,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x^2-4x+4&=(-x+2)^2{ \small ,}\\ -x+2&\ge 0 \end{aligned} \right.\) | теңсіздікке тең | \(\displaystyle -x+2\ge 0\) | немесе | \(\displaystyle x\le 2{\small .}\) |
Осылайша,
\(\displaystyle \sqrt{x^2-4x+4}=-x+2\) теңдеуі \(\displaystyle x \le 2{\small ,}\) теңсіздігіне мәндес, яғни.
\(\displaystyle x\in (-\infty;\, 2]{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle x\in (-\infty;\, 2]{\small .}\)