Теңдеудің түбірін табыңыз:
\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\)
- егер бір ғана түбір болса, онда екінші ұяшықты бос қалдырыңыз;
- егер шешімдер жоқ болса, онда бірінші ұяшыққа белгіні қойыңыз \(\displaystyle \varnothing\)
Иррационал теңдеу \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) жүйеге мәндес
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Осы ережені теңдеу үшін қолданайық \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\) теңдеу жүйеге мәндес болады.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-8x+15&=\left(-x^2+10x-25\right)^2{ \small ,}\\-x^2+10x-25&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle -x^2+10x-25\ge 0{ \small ,}\)
теңсіздікті \(\displaystyle -1 \) көбейту
\(\displaystyle x^2-10x+25\le 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}=10^2-4\cdot 1\cdot25 =0{ \small .}\)
\(\displaystyle x=\frac{10}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=5{ \small .}\)
\(\displaystyle x^2-10x+25\le 0\) теңсіздігін интервал әдісі арқылы шешейік.
Әр интервалдағы айнымалы мәндерді ауыстырып, біз мынаны аламыз:
Яғни \(\displaystyle x^2-10x+25\le 0\) теңсіздігінің бірегей шешімі бар \(\displaystyle x=5{ \small .}\)
Осылайша,
\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\) теңдеуінің жалғыз шешімі ғана болуы мүмкін \(\displaystyle x=5{ \small .}\)
\(\displaystyle x=5\) теңдеудің түбірі екенін тексерейік.
\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{ \small }\) теңдеуіне\(\displaystyle x=5\) ауыстырыңыз
\(\displaystyle \sqrt{5^2-8\cdot 5+15}=-5^2+10\cdot 5-25{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0=0{ \small ,}\)
дұрыс теңдік.
Сонымен , \(\displaystyle x=5\) теңдеудің \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{ \small }\) түбірі
Жауабы: \(\displaystyle 5{\small .}\)