Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\)

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\)

\(\displaystyle x_1=\)
5
\(\displaystyle x_2=\)
  • если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой;
  • если решений нет, то в первой ячейке поставьте символ \(\displaystyle \varnothing\)
Решение

Правило

Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-8x+15&=\left(-x^2+10x-25\right)^2{ \small ,}\\-x^2+10x-25&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Неравенство \(\displaystyle -x^2+10x-25 \ge 0\) имеет единственное решение \(\displaystyle x=5{\small .}\)

\(\displaystyle -x^2+10x-25\ge 0{ \small ,}\)

умножим неравенство на \(\displaystyle -1{\small ,}\) 

\(\displaystyle x^2-10x+25\le 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle {\rm D}=10^2-4\cdot 1\cdot25 =0{ \small .}\)

\(\displaystyle x=\frac{10}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=5{ \small .}\)

Решим неравенство \(\displaystyle x^2-10x+25\le 0\) методом интервалом.

Подставляя значения переменной из каждого интервала, получаем:

 

То есть неравенство \(\displaystyle x^2-10x+25\le 0\) имеет единственное решение \(\displaystyle x=5{ \small .}\)

Таким образом,

уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25\) может иметь только единственное решение \(\displaystyle x=5{ \small .}\)


Проверим, является ли \(\displaystyle x=5\) корнем уравнения.

Подставим \(\displaystyle x=5\) в уравнение  \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{ \small .}\)

 \(\displaystyle \sqrt{5^2-8\cdot 5+15}=-5^2+10\cdot 5-25{ \small ,}\)

 \(\displaystyle 0=0{ \small ,}\)

верное равенство.

Значит, \(\displaystyle x=5\) корень уравнения  \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+15}=-x^2+10x-25{ \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)