Теңдеудің түбірін табыңыз:
\(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5{\small .}\)
- егер бір ғана түбір болса, онда екінші ұяшықты бос қалдырыңыз;
- егер шешімдер жоқ болса, онда бірінші ұяшыққа белгіні қойыңыз \(\displaystyle \varnothing\)
Иррационал теңдеу \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) жүйеге мәндес
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Осы ережені теңдеу үшін қолданайық \(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5\) теңдеу жүйеге мәндес болады.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4x+13&=(2x+5)^2{ \small ,}\\2x+5&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Жүйедегі бірінші теңдеуді шешеміз және алынған шешімдердің қайсысы жүйенің екінші теңсіздігін қанағаттандыратынын тексереміз.
\(\displaystyle 4x+13=(2x+5)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle 4x^2+16x+12=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle D=16^2-4\cdot 4\cdot 12=256-192=64=8^{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-16-\sqrt{64}}{2\cdot 4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-16+\sqrt{64}}{2 \cdot 4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=-3{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=-1{\small .}\)
Түбір \(\displaystyle x=-3\) теңсіздікті \(\displaystyle 2x+5\ge 0{ \small ,}\) қанағаттандырмайды, өйткені
\(\displaystyle 2\cdot (-3)+5< 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle -1< 0{\small .}\)
Түбір \(\displaystyle x=-1\) теңсіздікті \(\displaystyle 2x+5\ge 0{ \small ,}\) қанағаттандырады, өйткені
\(\displaystyle 2\cdot (-1)+5\ge 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 3\ge 0{\small .}\)
Сонымен, \(\displaystyle x=-1\) – иррационал теңдеудің шешімі болып табылады.
Жауабы: \(\displaystyle -1{\small .}\)