\(\displaystyle a=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)\) және \(\displaystyle b=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1){\small}\) болсын.
Келесіні табыңыз.
\(\displaystyle a=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)\) және \(\displaystyle b=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)\) мәндерін \(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{b}-\left(\sqrt{2}\right)^a\) өрнегіне қоямыз.
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)}-\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)}{\small.}\)
Қосылғыштардың әрқайсысын жеңілдетейік.
Ол үшін логарифмнің негізгі қасиетін қолданамыз:
Логарифмнің негізгі қасиеті
\(\displaystyle \color{green}{a}^{\log_\color{green}{a} \color{blue}{b}} = \color{blue}{b}{\small.}\)
Сонда
- \(\displaystyle \left(\color{green}{\sqrt{2}}\right)^{\log_{\color{green}{\sqrt{2}}}(\color{blue}{\sqrt{5}+1})}= \color{blue}{\sqrt{5}+1}{\small;} \)
- \(\displaystyle \left(\color{green}{\sqrt{2}}\right)^{\log_{\color{green}{\sqrt{2}}}(\color{blue}{\sqrt{5}-1})}= \color{blue}{\sqrt{5}-1}{\small.} \)
Ауыстыру арқылы келесіні аламыз:
\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)}-\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)}={\sqrt{5}+1}-({\sqrt{5}-1})={\cancel{\sqrt{5}}+1}-\cancel{\sqrt{5}}+1=2{\small.} \)
Жауабы: \(\displaystyle 2{\small.}\)