Пусть \(\displaystyle a=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)\) и \(\displaystyle b=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1){\small.}\)
Найдите
Подставим \(\displaystyle a=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)\) и \(\displaystyle b=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)\) в выражение \(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{b}-\left(\sqrt{2}\right)^a.\)
Получаем:
\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)}-\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)}{\small.}\)
Упростим каждое из слагаемых.
Для этого воспользуемся основным свойством логарифма:
Основное свойство логарифма
\(\displaystyle \color{green}{a}^{\log_\color{green}{a} \color{blue}{b}} = \color{blue}{b}{\small.}\)
Тогда
- \(\displaystyle \left(\color{green}{\sqrt{2}}\right)^{\log_{\color{green}{\sqrt{2}}}(\color{blue}{\sqrt{5}+1})}= \color{blue}{\sqrt{5}+1}{\small;} \)
- \(\displaystyle \left(\color{green}{\sqrt{2}}\right)^{\log_{\color{green}{\sqrt{2}}}(\color{blue}{\sqrt{5}-1})}= \color{blue}{\sqrt{5}-1}{\small.} \)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)}-\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)}={\sqrt{5}+1}-({\sqrt{5}-1})={\cancel{\sqrt{5}}+1}-\cancel{\sqrt{5}}+1=2{\small.} \)
Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)