Сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Бірінші теңдеуді \(\displaystyle 5\) көбейтіңіз және оны екінші теңдеуден шегеріңіз. Жүйенің екінші теңдеуінің орнына ұқсастарды келтіргеннен кейін нәтижені жазыңыз:
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle 2x-3y=1{\small ,}\) |
Алынған теңдеулер жүйесін шешіңіз:
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Бірінші теңдеуді \(\displaystyle 5\) көбейту керек және оны екінші теңдеуден шегеріңіз.
Алдымен, осы жүйеде \(\displaystyle 2x-3y=1\) -ге \(\displaystyle 5{\small } \) бірінші теңдеудің екі бөлігін де көбейтеміз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 5}\cdot (2x-3y\,)=&\color{blue}{ 5}\cdot 1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Бірінші теңдеудегі жақшаларды ашайық:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 5}\cdot 2x-\color{blue}{ 5}\cdot 3y=&\color{blue}{ 5}\cdot 1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Көбейту арқылы жүйені аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}10x-15y=&5{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Енді екінші теңдеуден осы жүйедегі бірінші теңдеуді алып тастаймыз (оны \(\displaystyle 5\)-ке көбейттік). Ол үшін екінші теңдеудің әрбір бөлігінен алынған бірінші теңдеудің сәйкес бөлігін алып тастаңыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 10x-15y}=&\color{blue}{ 5}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-15y}=&\color{green}{ -1}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 10x-15y}=&\color{blue}{ 5}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-15y}-(\color{blue}{ 10x-15y}\,)=&\color{green}{ -1}-\color{blue}{ 5}{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Біз екінші теңдеуден \(\displaystyle 5{\small } \) -ке көбейтілген бірінші теңдеуден шықтық . Енді бірінші теңдеуді бастапқымен ауыстырайық:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\\color{green}{ 7x-15y}-(\color{blue}{ 10x-15y}\,)=&\color{green}{ -1}-\color{blue}{ 5}{\small . }\end{aligned}\right.\)
Жақшаларды ашамыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\7x-15y-10x+15y=&-1-5{\small . }\end{aligned}\right.\)
Осыған ұқсас екінші теңдеуді береміз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ 7x}-\color{green}{ 15y}-\color{blue}{ 10x}+\color{green}{ 15y}=&-1-5{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ -3x}=&-6{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Осылайша, бірінші теңдеудің екінші теңдеуінен \(\displaystyle 5{\small } \) - ке көбейтілгеннен кейін, берілген жүйе келесідей болады:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\\bf -3x=&\bf -6{\small . }\end{aligned}\right.\)
Алынған теңдеулер жүйесін шешейік. Ол үшін алдымен екінші теңдеуден \(\displaystyle x \) мәнді табамыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ -3x}=&-6{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ x}=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Табылған бірінші теңдеуге \(\displaystyle x \) мәнді ауыстырыңыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2\cdot 2-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 4-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Бірінші теңдеуден \(\displaystyle y\,{\small } \) мәнін табамыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 4-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3y=&-3{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} y=&1{\small , }\\ x=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Осылайша, теңдеулер жүйесінің шешімі бар:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=&\bf 2{\small , }\\y=&\bf 1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Жауабы: \(\displaystyle x=2{\small ,}\)\(\displaystyle y=1{\small . }\)