Преобразуйте систему линейных уравнений к более простому виду и решите её:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &{\small \frac{1}{5}}x-{\small \frac{3}{5}}y={\small \frac{9}{5}}{\small , }\\ &{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{2}{3}}y={\small \frac{2}{3}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Сначала приведем систему к более простому виду.
Для этого избавимся от числовых дробей в обоих уравнениях, умножив первое уравнение на \(\displaystyle 5{\small , } \) а второе уравнение на \(\displaystyle 3{\small : } \)
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &\color{blue}{ 5}\cdot \left({\small \frac{1}{5}}x-{\small \frac{3}{5}}y\right)=\color{blue}{ 5}\cdot {\small \frac{9}{5}}{\small , }\\ &\color{green}{3}\cdot \left({\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{2}{3}}y\right)=\color{green}{3}\cdot {\small \frac{2}{3}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &\color{blue}{ 5}\cdot {\small \frac{1}{5}}x-\color{blue}{ 5}\cdot {\small \frac{3}{5}}y=\color{blue}{ 5}\cdot {\small \frac{9}{5}}{\small , }\\ &\color{green}{3}\cdot {\small \frac{2}{3}}x+\color{green}{3}\cdot {\small \frac{2}{3}}y=\color{green}{3}\cdot {\small \frac{2}{3}} {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
Перемножим числа:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x-3y=&9{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Решим теперь полученную систему уравнений.
Если умножить первое уравнение на \(\displaystyle 2{\small ,} \) то и в первом, и во втором уравнениях будет \(\displaystyle 2x{\small . }\) Тогда методом вычитания можно будет исключить переменную \(\displaystyle x \) (например, из первого уравнения).
Умножим первое уравнение на \(\displaystyle 2{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2}\cdot (x-3y\,)=&\color{blue}{ 2}\cdot 9{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2}\cdot x-\color{blue}{ 2}\cdot 3y=&\color{blue}{ 2}\cdot 9{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Перемножим числа:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-6y=&18{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Теперь и в первом, и во втором уравнениях есть \(\displaystyle 2x{\small . } \) Исключим переменную \(\displaystyle x \) из первого уравнения, вычтя из него второе:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2x-6y}=&\color{blue}{ 18}{\small , }\\ \color{green}{ 2x+2y}=&\color{green}{ 2}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2x-6y}-(\color{green}{ 2x+2y}\,)=&\color{blue}{ 18}-\color{green}{ 2}{\small , }\\ \color{green}{ 2x+2y}=&\color{green}{ 2}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
Раскроем скобки и приведем подобные в первом уравнении:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2x}-\color{green}{ 6y}-\color{blue}{ 2x}-\color{green}{ 2y}=&18-2{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -\color{green}{ 8y}=&16{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Найдем значение \(\displaystyle y \) из первого уравнения:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{green}{ y}=&-2{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Таким образом, система уравнений имеет решение:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \bf x=&\bf 3{\small , }\\ \bf y=&\bf -2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Ответ: \(\displaystyle x=3{\small , }\)\(\displaystyle y=-2{\small . }\)