Қосындының квадратын табыңыз:
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
\(\displaystyle 36=6^2 \) ескерейік, сондықтан
\(\displaystyle 12x=2\cdot x \cdot 6.\)
\(\displaystyle 12x\) екі еселенген көбейтіндісін қосынды квадратының формуласы айқын көрінетіндей етіп қайта жазайық:
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=6\) кезіндегі қосынды квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle x^{\, 2}+2\cdot x \cdot 6+6^2=(x+6)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (x+6)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша қосынды квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Квадрат суммы
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=x^{\, 2}+12x+36\)
\(\displaystyle 36=6^2\) ескерейік, сондықтан
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=x^{\, 2}+12x+6^2.\)
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}+12x+\color{green}{6^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{6^2}.\)
Сонда \(\displaystyle a\), \(\displaystyle x\) немесе \(\displaystyle -x,\) \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 6\) немесе \(\displaystyle -6\) болуы мүмкін (\(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\) теңдеуінің шешімін қараңыз ).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық:
\(\displaystyle a=x,\)
\(\displaystyle b=6.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle x\) параметрін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 6\) санын ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}+\color{red}{12x}+6^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}12x,\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 6,\)
\(\displaystyle 2ab=12x.\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=6\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(a+b\,)^2\) болғандықтан,
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=6\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle x^{\, 2}+12x+36=(x+6)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (x+6)^2.\)