Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}\) является полным квадратом суммы.

Сначала заметим, что  \(\displaystyle 25y^{\,2}=5^2y^{\,2}=(5y\,)^2.\)

Далее распишем \(\displaystyle 90xy\) как удвоенное произведение:

\(\displaystyle 90xy=2\cdot 9x \cdot 5y.\)

Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x\,)^2+2\cdot 9x \cdot 5y+(5y\,)^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=9x\) и \(\displaystyle b=5y\):

\(\displaystyle (9x\,)^2+2\cdot 9x \cdot 5y+(5y\,)^2=(9x+5y\,)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x+5y\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (9x+5y\,)^2.\)
 

Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}\) является полным квадратом суммы.

Следовательно,

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Заметим, что  \(\displaystyle 25y^{\,2}=5^2y^{\,2}=(5y\,)^2\) и поэтому

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x\,)^2+90xy+(5y\,)^2.\)

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(9x\,)^2}+90xy+\color{green}{(5y\,)^2},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(9x\,)^2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5y\,)^2}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 9x\) или \(\displaystyle -9x,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 5y\) или \(\displaystyle -5y\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=9x,\)

\(\displaystyle b=5y.\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(9x\,)^2+\color{red}{90xy}+(5y\,)^2,\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}90xy\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 9x,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 5y.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 9x\cdot 5y,\)

\(\displaystyle 2ab=90xy.\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=9x\) и \(\displaystyle b=5y.\)

Поскольку

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

то, подставляя \(\displaystyle a=9x\) и \(\displaystyle b=5y\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x+5y\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (9x+5y\,)^2.\)