Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теориясы: Айырма квадратын табу-1

Тапсырма

Айырманың квадратын табыңыз:

\(\displaystyle x^{\, 2}-2xz+z^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Шешім

Бірінші тәсіл.

Бізге \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.

Правило

Айырма квадраты

Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Біздің өрнек \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=z\) айырма квадратымен дәл сәйкес келеді.

Сондықтан 

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)

Екінші тәсіл (квадраттар бойынша айырма квадратын табу).

Бізге \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.

Правило

Айырма квадраты

Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\).

Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}-2xz+\color{green}{z^{\, 2}},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{z^{\, 2}}.\)

Сонда \(\displaystyle a\)  \(\displaystyle x\) немесе \(\displaystyle -x,\) \(\displaystyle b\)  \(\displaystyle z\) немесе \(\displaystyle -z\) (тиісті дәлелді қараңыз).

Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық :

\(\displaystyle a=x,\)

\(\displaystyle b=z.\)

Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің   \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle x\) параметрін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle z\) параметрін ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет

\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}-\color{red}{2xz}+z^{\, 2},\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2xz\)

 

Алмастыра отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot z,\)

\(\displaystyle 2ab=2xz.\)

Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=z\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(a-b\,)^2,\)

онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=z\) алмастыра отырып,  келесіні аламыз:

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)