Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Заметим, что \(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2\) и \(\displaystyle 16t^{\,2}=4^2t^{\,2}=(4t\,)^2.\) Поэтому мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+(4t\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=4t\):
\(\displaystyle (5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+(4t\,)^2=(5s-4t\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s-4t\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (5s-4t\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
и
\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(a-b\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что
\(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2\) и \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}.\)
Если \(\displaystyle a^{\,2}=(5s\,)^2,\) то \(\displaystyle a=5s\) или \(\displaystyle a=-5s\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=5s.\)
Перепишем наше равенство
\(\displaystyle (5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)
подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{5s}\):
\(\displaystyle (5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=\color{blue}{(5s\,)}^2-2\cdot\color{blue}{5s}\cdot b+b^{\, 2}.\)
В выражении слева с параметром \(\displaystyle s\) стоит слагаемое \(\displaystyle 2(5s\,)(4t\,),\) а справа – \(\displaystyle 2\cdot 5s\cdot b.\) Приравняем их:
\(\displaystyle 2(5s\,)(4t\,)=2\cdot 5s\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{2(5s\,)(4t\,)}{2\cdot 5s},\)
\(\displaystyle b=4t.\)
Таким образом, \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=4t.\)
Подставляя в равенство \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(a-b\,)^2,\) получаем, что
\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s-4t\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (5s-4t\,)^2.\)