Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 1

Задание

Найдите квадрат разности:
 

\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Заметим, что  \(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2\) и \(\displaystyle 16t^{\,2}=4^2t^{\,2}=(4t\,)^2.\) Поэтому мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:

\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+(4t\,)^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=4t\):

\(\displaystyle (5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+(4t\,)^2=(5s-4t\,)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s-4t\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (5s-4t\,)^2.\)

 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Следовательно,

\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)

и

\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(a-b\,)^2\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Заметим, что

\(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2\) и \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}.\)

Если \(\displaystyle a^{\,2}=(5s\,)^2,\) то \(\displaystyle a=5s\) или \(\displaystyle a=-5s\) (см. соответствующее доказательство).

Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=5s.\)

Перепишем наше равенство

\(\displaystyle (5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)

подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{5s}\):

\(\displaystyle (5s\,)^2-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=\color{blue}{(5s\,)}^2-2\cdot\color{blue}{5s}\cdot b+b^{\, 2}.\)

В выражении слева с параметром \(\displaystyle s\) стоит слагаемое \(\displaystyle 2(5s\,)(4t\,),\)  а справа – \(\displaystyle 2\cdot 5s\cdot b.\) Приравняем их:

\(\displaystyle 2(5s\,)(4t\,)=2\cdot 5s\cdot b,\)

\(\displaystyle b=\frac{2(5s\,)(4t\,)}{2\cdot 5s},\)

\(\displaystyle b=4t.\)

Таким образом, \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=4t.\)

Подставляя в равенство \(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(a-b\,)^2,\) получаем, что

\(\displaystyle 25s^{\,2}-2(5s\,)(4t\,)+16t^{\,2}=(5s-4t\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (5s-4t\,)^2.\)