Айырманың квадратын табыңыз:
\(\displaystyle x^{\, 2}-2xz+z^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)Айырма квадраты
Біздің өрнек \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=z\) айырма квадратымен дәл сәйкес келеді.
Сондықтан
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша айырма квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)Айырма квадраты
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\).
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}-2xz+\color{green}{z^{\, 2}},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{z^{\, 2}}.\)
Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle x\) немесе \(\displaystyle -x,\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle z\) немесе \(\displaystyle -z\) (тиісті дәлелді қараңыз).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық :
\(\displaystyle a=x,\)
\(\displaystyle b=z.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle x\) параметрін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle z\) параметрін ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}-\color{red}{2xz}+z^{\, 2},\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2xz\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot z,\)
\(\displaystyle 2ab=2xz.\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=z\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(a-b\,)^2,\)
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=z\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)