Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Деление многочлена на одночлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Найдите частное при делении многочлена \(\displaystyle 50y^{\,20}+25y^{\,18}-15y^{\,3}\) на одночлен \(\displaystyle 5y^{\,3}\) в столбик и восстановите процесс деления:
 

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle 50y^{\,20}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle 15y^{\,3}\) \(\displaystyle 5y^{\,3}\)
50y^{20}
     
10y^{17}
+5y^{15}
-3
    \(\displaystyle -\)
25y^{18}-15y^3
   
25y^{18}
        \(\displaystyle -\)
-15y^3
       
-15y^3
          \(\displaystyle 0\)


С учетом известного частного запишите разложение на множители:

\(\displaystyle 50y^{\,20}+25y^{\,18}-15y^{\,3}=5y^{\, 3}\cdot\big(\)
10y^{17}+5y^{15}-3
\(\displaystyle \big){\small . }\)
Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle 50y^{\,20}+25y^{\,18}-15y^{\,3}\) на одночлен \(\displaystyle 5y^{\,3}\) в столбик.

Шаг 1

Шаг 1. Многочлен \(\displaystyle {\bf 50y^{\,20}+25y^{\,18}-15y^{\,3}}{\small .}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{blue}{50y^{\,20}}+25y^{\,18}-15y^{\,3}{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{blue}{50y^{\,20}}{\small .}\)


2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{blue}{50y^{\,20}}\) на одночлен \(\displaystyle 5y^{\,3}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{50y^{\,20}}}{5y^{\,3}}=\color{blue}{10y^{\, 17}}{\small .}\)


Записываем результат деления как первое слагаемое частного:

\(\displaystyle \small \color{blue}{50y^{\,20}}+25y^{\,18}-15y^{\,3}\) \(\displaystyle \small 5y^{\,3}\)
  \(\displaystyle \small \color{blue}{10y^{\, 17}}\,?\)


3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{blue}{50y^{\,20}}+25y^{\,18}-15y^{\,3}\) одночлен \(\displaystyle \color{blue}{50y^{\,20}}=5y^{\,3}\cdot \color{blue}{10y^{\,17}} {\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small \color{blue}{50y^{\,20}}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\) \(\displaystyle \small 5y^{\,3}\)
\(\displaystyle \small \color{blue}{50y^{\,20}}\)         \(\displaystyle \small\color{blue}{10y^{\,17}} \,?\)
      \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\)  

Получаем многочлен \(\displaystyle 25y^{\,18}-15y^{\,3}{\small . }\)

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 3. Многочлен \(\displaystyle {\bf -15y^{\,3}}{\small .}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{orange}{-15y^{\,3}}{\small ,}\) это и есть сам одночлен \(\displaystyle \color{orange}{-15y^{\,3}}{\small .}\)


2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{orange}{-15y^{\,3}}\) на одночлен \(\displaystyle 5y^{\,3}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{orange}{-15y^{\,3}}}{5y^{\,3}}=\color{orange}{-3}{\small .}\)


Записываем результат деления как третье слагаемое частного со знаком \(\displaystyle "-"\):

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 50y^{\,20}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\) \(\displaystyle \small 5y^{\,3}\)
\(\displaystyle \small 50y^{\,20}\)         \(\displaystyle \small\color{blue}{10y^{\,17}}\color{green}{+5y^{\,15}}\,\color{orange}{-3}\)
    \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\)      
    \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\)          
          \(\displaystyle \small \color{orange}{15y^{\,3}}\)      


3. Вычитаем в столбик из одночлена \(\displaystyle \color{orange}{-15y^{\,3}}\) одночлен \(\displaystyle \color{orange}{-15y^{\,3}}=5y^{\,3}\cdot (\color{orange}{-3}) {\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 50y^{\,20}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\) \(\displaystyle \small 5y^{\,3}\)
\(\displaystyle \small 50y^{\,20}\)         \(\displaystyle \small\color{blue}{10y^{\,17}}\color{green}{+5y^{\,15}}\,\color{orange}{-3}\)
    \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\)  
    \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\)      
        \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small \color{orange}{-15y^{\,3}}\)  
        \(\displaystyle \small \color{orange}{-15y^{\,3}}\)  
          \(\displaystyle \small 0\)  

В итоге получаем  \(\displaystyle 0{\small ,}\) процесс деления закончен.

Таким образом,

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small\color{blue}{50y^{\,20}}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\) \(\displaystyle \small 5y^{\,3}\)
\(\displaystyle \small 50y^{\,20}\)         \(\displaystyle \small\color{blue}{10y^{\,17}}\color{green}{+5y^{\,15}}\,\color{orange}{-3}\)
    \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small\color{green}{ 25y^{\,18}}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 15y^{\,3}\)  
    \(\displaystyle \small 25y^{\,18}\)      
        \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small\color{orange}{ -15y^{\,3}}\)  
        \(\displaystyle \small -15y^{\,3}\)  
          \(\displaystyle \small 0\)  

и

\(\displaystyle 50y^{\,20}+25y^{\,18}-15y^{\,3}=5y^{\, 3} \cdot (10y^{\,17}+5y^{\,15}-3){\small .}\)