Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Деление многочлена на одночлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Разделите многочлен \(\displaystyle 20x^{\,8}-16x^{\,3}+12x^{\,2}\) на одночлен \(\displaystyle 4x^{\,4}\) в столбик с остатком :
 

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle 20x^{\,8}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle 16x^{\,3}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle 12x^{\,2}\) \(\displaystyle 4x^{\,4}\)
20x^8
     
5x^4
     
-16x^3+12x^2


Запишите разложение:

  частное   остаток  
\(\displaystyle 20x^{\,8}-16x^{\,3}+12x^{\,2}=4x^{\,4}\cdot (\)
5x^4
\(\displaystyle )\,+(\)
-16x^3+12x^2
\(\displaystyle )\)

 

Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle 20x^{\,8}-16x^{\,3}+12x^{\,2}\) на одночлен \(\displaystyle 4x^{\,4}\) в столбик с остатком.
 

Шаг 1

Шаг 1. Многочлен \(\displaystyle {\bf 20x^{\,8}-16x^{\,3}+12x^{\,2}}{\small .}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{blue}{20x^{\,8}}-16x^{\,3}+12x^{\,2}{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{blue}{20x^{\,8}}{\small .}\)


2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{blue}{20x^{\,8}}\) на одночлен \(\displaystyle 4x^{\,4}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{20x^{\,8}}}{4x^{\,4}}=\color{blue}{5x^{\,4}}{\small .}\)


Записываем результат деления как первое слагаемое частного:

\(\displaystyle \small \color{blue}{20x^{\,8}}-16x^{\,3}+12x^{\,2}\) \(\displaystyle \small 4x^{\,4}\)
  \(\displaystyle \small \color{blue}{5x^{\,4}}\,?\)


3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{blue}{20x^{\,8}}-16x^{\,3}+12x^{\,2}\) одночлен \(\displaystyle \color{blue}{20x^{\,8}}=4x^{\,4}\cdot \color{blue}{5x^{\,4}} {\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small \color{blue}{20x^{\,8}}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 16x^{\,3}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 12x^{\,2}\) \(\displaystyle \small 4x^{\,4}\)
\(\displaystyle \small \color{blue}{20x^{\,8}}\)         \(\displaystyle \small \color{blue}{5x^{\,4}}\,?\)
      \(\displaystyle \small -16x^{\,3}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 12x^{\,2}\)  


Получаем многочлен \(\displaystyle -16x^{\,3}+12x^{\,2}{\small . }\)

Шаг 2

Шаг 2. Многочлен \(\displaystyle {\bf -16x^{\,3}+12x^{\,2}}{\small .}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{green}{-16x^{\,3}}+12x^{\,2}{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{green}{-16x^{\,3}}{\small .}\)


2. Однако одночлен \(\displaystyle \color{green}{-16x^{\,3}}\) не делится на одночлен \(\displaystyle 4x^{\,4}{\small .}\)


Значит, процесс деления закончен, и многочлен \(\displaystyle -16x^{\,3}+12x^{\,2}\) является остатком от деления.

Таким образом,

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small \color{blue}{20x^{\,8}}\) \(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small 16x^{\,3}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 12x^{\,2}\) \(\displaystyle \small 4x^{\,4}\)
\(\displaystyle \small 20x^{\,8}\)         \(\displaystyle \small \color{blue}{5x^{\,4}}\)
      \(\displaystyle \small -16x^{\,3}\) \(\displaystyle +\) \(\displaystyle \small 12x^{\,2}\)  


и

частноеостаток
\(\displaystyle 20x^{\,8}-12x^{\,5}-16x^{\,3}+12x^{\,2}=4x^{\,4}\cdot(\,5x^{\,4}\,)+(\,-16x^{\,3}+12x^{\,2}\,)\)