В золотой руде, поступившей на обогатительный комбинат, содержится \(\displaystyle 2\%\) золота. После того, как из этой руды удалили некоторое количество пустой горной породы, не содержащей золота, в получившейся обогащенной руде общей массой \(\displaystyle 10\) тонн содержание золота увеличилось до \(\displaystyle 25\%\). Какова была масса исходной руды, поступившей на обогатительный комбинат?
тонн
Пусть на комбинат изначально поступило \(\displaystyle x\) тонн золотой руды. Запишем соотношение:
| \(\displaystyle 2\%\) золота | в \(\displaystyle x\) тоннах руды, | |
| \(\displaystyle 25\%\) золота | в \(\displaystyle 10\) тоннах руды. |
Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – число тонн руды и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процент содержания золота в этой руде.
Признак обратной пропорции для задач с процентами
Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.
Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).
По условию задачи, \(\displaystyle 2\%\) от \(\displaystyle x\) тонн руды равно количеству тонн золота в исходной руде. В свою очередь, \(\displaystyle 25\%\) от \(\displaystyle 10\) тонн руды тоже равно количеству тонн золота в обогащенной руде. И поскольку количество тонн золота в руде не меняется, то, по признаку обратной пропорции, данные величины обратно пропорциональны.
Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при уменьшении общей массы руды в несколько раз (за счет удаления из нее пустой породы, не содержащей золота) процентное содержание золота в ней увеличивается во столько же раз (так как, по условию, масса золота в руде не изменяется).
Обратная пропорциональность
Пусть дана обратная пропорциональность:
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\),
\(\displaystyle c\) \(\displaystyle d\).
Тогда можно записать следующее равенство:
\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).
Тогда получаем уравнение:
\(\displaystyle 2\cdot x=25\cdot 10\);
\(\displaystyle x=\frac{25 \cdot10}{2}=125\).
Ответ: \(\displaystyle 125\) тонн.