Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2+dx\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ dx}{ \color{red}{2} }=x^2+\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{d}{2}{\small .}\)

Сравним формулу и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{d}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle \color{blue}{a} \rightarrow \color{blue}{ x}\) и \(\displaystyle \color{green}{b} \rightarrow \color{green}{ \frac{d}{2}}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b^2} \rightarrow\color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат суммы,

то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{d}{2}}\,+\color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому дополним выражение

\(\displaystyle x^2+dx+c=0\)

с обеих сторон слагаемым \(\displaystyle \color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small :}\)

\(\displaystyle x^2+dx+\color{green}{\frac{d^2}{4}}+c=\color{green}{\frac{d^2}{4}}{\small ,}\)

и распишем квадрат суммы слева явно:

\(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot \frac{d}{2}+\frac{d^2}{4}+c=\frac{d^2}{4}{\small ; }\)

\(\displaystyle \left(x+\frac{d}{2}\right)^2+c=\frac{d^2}{4}{\small . }\)

Ответ: \(\displaystyle x^2+dx+\frac{d^2}{4}+c=\frac{d^2}{4}{\small . } \)