Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Разложение квадратного трехчлена на множители

Задание

Разложите квадратный трехчлен на множители:

\(\displaystyle -5x^2+60x-180=\)
-5(x-6)^2
Решение

Выделим коэффициенты в данном квадратном трехчлене:

\(\displaystyle -5x^2+60x-180=\color{red}{ -5}x^2+\color{green}{ 60}x\color{blue}{ -180}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ -5}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 60}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -180}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle -5x^2+60x-180=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Корни квадратного уравнения

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{60}^2-4\cdot (\color{red}{ -5})\cdot (\color{blue}{ -180})=3600-3600=0{\small .} \)

Найдем корни уравнения. Поскольку корни уравнения равны, то имеем одно (два совпадающих) решения:

\(\displaystyle x= \frac{-60}{-10}=6{\small .}\)

 

Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ -5}{ \small ,} \) а корни совпадают и равны \(\displaystyle 6{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle -5x^2+60x-180=\color{red}{ -5}\cdot (x-6)(x-6)=-5(x-6)^2 {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -5(x-6)^2{\small .} \)