На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y=F(x)\) — одной из первообразных функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) определённой на интервале \(\displaystyle (-3;\,5){\small.}\) Найдите количество решений уравнения \(\displaystyle f(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle [-2;\,4]{\small.}\)
Напомним определение первообразной.
Функция \(\displaystyle F(x)\) называется первообразной функции \(\displaystyle f(x){ \small ,}\) если \(\displaystyle F(x)\) имеет производную на всей области определения \(\displaystyle f(x)\) и
\(\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x){\small.}\)
Значит, \(\displaystyle f(x)\) – производная \(\displaystyle F(x).\)
По условию требуется найти точки, в которых \(\displaystyle f(x)=0{\small .}\) Следовательно, нужно найти точки, в которых производная \(\displaystyle F(x)\) равна нулю.
В условии дан график функции \(\displaystyle y=F(x){\small.}\) Для этой функции \(\displaystyle F(x)\) верно, что \(\displaystyle F^{\prime}(x)=0\) только в точках экстремума.
Поэтому найдем количество точек экстремума функции \(\displaystyle F(x){\small,}\) принадлежащих отрезку \(\displaystyle [-2;\,4]{\small:}\)
Получаем \(\displaystyle 10\) точек экстремума на отрезке \(\displaystyle [-2;\, 4]{\small.}\)
Значит, имеется \(\displaystyle 10\) точек, принадлежащих отрезку \(\displaystyle [-2;\, 4]{\small,}\) в которых \(\displaystyle f(x)=0{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 10{\small.}\)