На рисунке изображён график \(\displaystyle y = F(x)\)одной из первообразных некоторой функции \(\displaystyle f(x)\) и отмечены десять точек на оси абсцисс: \(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7,\, x_8{\small.}\)В скольких из этих точек функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна?
Если \(\displaystyle F(x)\) – первообразная функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) то
\(\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x){\small.}\)
Значит, \(\displaystyle f(x)\) – это производная \(\displaystyle F(x){\small,}\) и имеет место зависимость:
| Поведение \(\displaystyle F(x)\) в окрестности точки | Знак \(\displaystyle f(x)\) в точке |
| Если \(\displaystyle F(x)\) возрастает, то | \(\displaystyle f(x)\ge 0\) |
| Если \(\displaystyle F(x)\) убывает, то | \(\displaystyle f(x)\le 0\) |
Посмотрим на поведение \(\displaystyle F(x)\) в окрестностях точек \(\displaystyle x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5,\,x_6,\,x_7,\,x_8{\small:}\)
Получаем:
| Точки | Поведение \(\displaystyle F(x)\) в окрестности | Знак \(\displaystyle f(x)\) в точке |
| \(\displaystyle x_2,\,x_3,\,x_5,\,x_6,\,x_7\) | \(\displaystyle F(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{#009900}{\nearrow}\) | \(\displaystyle f(x)\ge 0\) |
| \(\displaystyle x_1,\,x_4,\,x_8\) | \(\displaystyle F(x)\) убывает \(\displaystyle \color{#0000FF}{\searrow}\) | \(\displaystyle f(x)\le 0\) |
Ни в одной из выделенных точек графика \(\displaystyle y=F(x)\) касательная не параллельна оси \(\displaystyle \rm OX{\small.}\) Значит, во всех этих точках \(\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)\,\cancel{=}\, 0{\small.}\)
То есть в таблице все знаки неравенств строгие:
| Точки | Знак \(\displaystyle f(x)\) в точке |
| \(\displaystyle x_2,\,x_3,\,x_5,\,x_6,\,x_7\) | \(\displaystyle f(x)> 0\) |
| \(\displaystyle x_1,\,x_4,\,x_8\) | \(\displaystyle f(x)< 0\) |
Значит, \(\displaystyle f(x)\) отрицательна в трех точках.
Ответ: \(\displaystyle 3{\small.}\)