На рисунке изображён график некоторой функции \(\displaystyle y=f(x){\small.}\)
Функция \(\displaystyle F(x)=-x^3-27x^2-240x-8\) — одна из первообразных функции \(\displaystyle f(x){\small.}\)
Найдите площадь закрашенной фигуры.
Поскольку в условии дана \(\displaystyle F(x){\small ,}\) первообразная \(\displaystyle f(x){\small,}\) то для вычисления площади закрашенной фигуры можно воспользоваться следующим фактом:
Если \(\displaystyle f(x)\) непрерывная функция и \(\displaystyle F(x)\) ее первообразная, то площадь \(\displaystyle \color{red}{S}\) под графиком (криволинейной трапеции) вычисляется по формуле:
\(\displaystyle \color{red}{S}=F(\color{blue}{b})-F(\color{green}{a}){\small.}\)
Посмотрим на рисунок, данный в условии задачи:
Получаем:
\(\displaystyle \color{red}{S}=F(\color{blue}{-8})-F(\color{green}{-10}){\small.}\)
Вычислим \(\displaystyle F(\color{blue}{-8})\) и \(\displaystyle F(\color{green}{-10}){\small : }\)
- \(\displaystyle F(\color{blue}{-8})= -(\color{blue}{-8})^3-27\cdot(\color{blue}{-8})^2-240\cdot(\color{blue}{-8})-8=\)\(\displaystyle \kern{10em} =512-1728+1920-8=\color{blue}{696}{\small,}\)
- \(\displaystyle F(\color{green}{-10})= -(\color{green}{-10})^3-27\cdot(\color{green}{-10})^2-240\cdot(\color{green}{-10})-8=\)\(\displaystyle \kern{10em} =1000-2700+2400-8=\color{green}{692}{\small.}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \color{red}{S}=F(\color{blue}{-8})-F(\color{green}{-10})=\color{blue}{696}-\color{green}{692}=4{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)