Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Куб и параллелепипед

Задание

В прямоугольном параллелепипеде \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребра \(\displaystyle DA {\small,} \) \(\displaystyle DC\) и диагональ \(\displaystyle DA_1\) боковой грани равны соответственно \(\displaystyle 3 {\small ,} \) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle \sqrt{34} \small.\) Найдите площадь поверхности параллелепипеда  \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \small. \) 

110
Решение

Ребро \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle AD{\small . }\) 

Определение

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Поэтому \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно \(\displaystyle AD{\small . }\)

Найдем \(\displaystyle AA_1\) из прямоугольного  треугольника \(\displaystyle A_1AD\)
с катетом \(\displaystyle AD=3\) и гипотенузой \(\displaystyle DA_1=\sqrt {34}{\small .}\) 

По теореме Пифагора

\(\displaystyle {DA_1}^2=AD^2+{AA_1}^2{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(\sqrt {34}\right)^2=3^2+{AA_1}^2{\small ,}\)

\(\displaystyle {AA_1}^2=34-9{\small ,}\)

\(\displaystyle {AA_1}^2=25{\small .}\)

Так как \(\displaystyle AA_1\) – длина отрезка, то \(\displaystyle AA_1\) положительно, поэтому

\(\displaystyle AA_1=5{\small .}\)

 

Воспользуемся формулой для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

\(\displaystyle S_п=2(ab+bc+ac){ \small .} \)

У нас \(\displaystyle a=DA=3 { \small ,}\) \(\displaystyle b=DC=5 { \small ,}\) \(\displaystyle c=DD_1=AA_1=5 { \small .}\)

Поэтому получаем:

\(\displaystyle S_п=2\cdot( 3\cdot 5+5\cdot 5 +3\cdot 5){ \small ,} \)

\(\displaystyle S_п=2\cdot( 15+25+15){ \small ,} \)

\(\displaystyle S_п=2\cdot55=110{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 110{\small .}\)