В прямоугольном параллелепипеде \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребра \(\displaystyle DA {\small,} \) \(\displaystyle DC\) и диагональ \(\displaystyle DA_1\) боковой грани равны соответственно \(\displaystyle 3 {\small ,} \) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle \sqrt{34} \small.\) Найдите площадь поверхности параллелепипеда \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \small. \)
Ребро \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle AD{\small . }\)
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Поэтому \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно \(\displaystyle AD{\small . }\)
Найдем \(\displaystyle AA_1\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle A_1AD\) По теореме Пифагора \(\displaystyle {DA_1}^2=AD^2+{AA_1}^2{\small ,}\) \(\displaystyle \left(\sqrt {34}\right)^2=3^2+{AA_1}^2{\small ,}\) \(\displaystyle {AA_1}^2=34-9{\small ,}\) \(\displaystyle {AA_1}^2=25{\small .}\) Так как \(\displaystyle AA_1\) – длина отрезка, то \(\displaystyle AA_1\) положительно, поэтому \(\displaystyle AA_1=5{\small .}\) |  |
Воспользуемся формулой для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
\(\displaystyle S_п=2(ab+bc+ac){ \small .} \)
У нас \(\displaystyle a=DA=3 { \small ,}\) \(\displaystyle b=DC=5 { \small ,}\) \(\displaystyle c=DD_1=AA_1=5 { \small .}\)
Поэтому получаем:
\(\displaystyle S_п=2\cdot( 3\cdot 5+5\cdot 5 +3\cdot 5){ \small ,} \)
\(\displaystyle S_п=2\cdot( 15+25+15){ \small ,} \)
\(\displaystyle S_п=2\cdot55=110{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 110{\small .}\)