Воспользуемся формулой для вычисления объема пирамиды.

Получаем:

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SO{\small .}\)

Найдем площадь квадрата \(\displaystyle ABCD{\small .}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=AB^2=(3\sqrt{2})^2=18{\small .}\)

Подставим \(\displaystyle S_{ABCD}\) и \(\displaystyle V\) в формулу для объема пирамиды и найдем высоту \(\displaystyle SO{\small .}\)

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SO{\small ,}\)

\(\displaystyle 24=\frac{1}{3}\cdot 18 \cdot SO{\small ,}\)

\(\displaystyle 6SO=24{\small ,}\)

\(\displaystyle SO=4{\small .}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Найдем \(\displaystyle AC\) по теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle ABC{\small :}\)

\(\displaystyle AB^2+BC^2=AC^2{\small,}\)

\(\displaystyle (3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=AC^2{\small ,}\)

\(\displaystyle AC^2=36{\small .}\)

Так как длина отрезка положительна, то

\(\displaystyle AC=6{\small .}\)

Точка \(\displaystyle O\) – середина \(\displaystyle AC{\small ,}\) следовательно

\(\displaystyle AO=OC=\frac{1}{2}AC=3{\small .}\)