Выберите рациональные числа:
- Корень из натурального числа \(\displaystyle \sqrt{a}\) является иррациональным числом, если \(\displaystyle a\) не является квадратом некоторого натурального числа.
- Корень из рационального числа \(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}\) является иррациональным числом, если \(\displaystyle \frac{a}{b}\) не является квадратом некоторого рационального числа.
- Произведение, частное рационального числа и иррационального числа являются иррациональным числом.
Проверим по порядку данные нам числа:
1) \(\displaystyle \sqrt{810}= \sqrt{2\cdot 9^2\cdot 5}= 9\sqrt{ 2\cdot 5}= 9\sqrt{ 10} \) – это число, которое не является рациональным, поскольку из \(\displaystyle 10\) нельзя извлечь корень ( \(\displaystyle 10\) не является квадратом натурального числа);
2) \(\displaystyle \sqrt{8{,}1}= \sqrt{ \frac{81}{ 10 }}= \frac{\sqrt{81}}{ \sqrt{ 10 }}=\frac{\sqrt{9^2}}{ \sqrt{ 10 }}= \frac{ 9}{ \sqrt{ 10} } \) – это число, которое не является рациональным, поскольку мы делим рациональное число \(\displaystyle 9\) на иррациональное число \(\displaystyle \sqrt{ 10}{\small .}\)
3) \(\displaystyle \sqrt{0{,}81}= \sqrt{\frac{ 81}{ 100 }}= \frac{\sqrt{ 81}}{ \sqrt{ 100 }}=\frac{\sqrt{ 9^2}}{ \sqrt{ 10^2 }}= \frac{ 9}{ 10 }= 0{,}9 \) – это число, которое является рациональным;
4) все числа не являются рациональными, так как \(\displaystyle \sqrt{810}\) и \(\displaystyle \sqrt{8{,}1}\) – иррациональные числа.
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{0{,}81}\) – рациональное число.