В данном выражении \(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}\) два разных угла, причем один из них в два раза больше другого:

\(\displaystyle 22^ \circ=2 \cdot \color{red}{11^ \circ} {\small.}\)

То есть:

\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}=\frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin(2 \cdot \color{red}{ 11^ \circ})}{\small.}\)

Применим формулу синуса двойного угла

В нашем случае \(\displaystyle \alpha=\color{red}{ 11}^ \circ,\) то есть

\(\displaystyle \sin(2 \cdot \color{red}{ 11}^ \circ)=2\sin \color{red}{ 11}^ \circ \cos \color{red}{ 11}^ \circ{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin(2 \cdot \color{red}{ 11}^ \circ)}=\frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{2\sin \color{red}{ 11}^ \circ \cos \color{red}{ 11}^ \circ}{\small.}\)

Сократим полученную дробь:

\(\displaystyle \frac{12 \,\cancel{\sin 11^\circ} \cdot \,\cancel{\cos 11^ \circ}}{2\,\cancel{\sin 11^ \circ} \,\cancel{\cos11^ \circ}}=\frac{12}{2}=6{\small.}\)

Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{\sin22^ \circ}=\frac{12 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^ \circ}{2\sin 11^ \circ \cos11^ \circ}=6{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 6 {\small.} \)