В условии два разных угла, причем один из них в два раза больше другого:

\(\displaystyle 8\alpha=2 \cdot \color{red}{4\alpha} {\small.}\)

То есть:

\(\displaystyle 4\cos\, 8\alpha=4\cos(2 \cdot \color{red}{4\alpha}){\small.}\)

Применим особый вариант формулы косинуса двойного угла

В нашем случае \(\displaystyle x=\color{red}{4\alpha},\) то есть

\(\displaystyle \cos(2 \cdot \color{red}{4\alpha})=1-2\sin^2 \color{red}{4\alpha}{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle 4\cos\, 8\alpha=4\cos(2 \cdot \color{red}{4\alpha})=4(1-2\sin^2 \color{red}{4\alpha}){\small.}\)

Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \sin 4\alpha = \frac{3}{4} {:}\)

\(\displaystyle 4(1-2\sin^2 4\alpha)=4 \bigg(1-2 \cdot \bigg( \frac{3}{4} \bigg)^2 \bigg){\small.}\)

Найдем значение полученного выражения:

\(\displaystyle 4 \bigg(1-2 \cdot \bigg( \frac{3}{4} \bigg)^2 \bigg)=4 \bigg(1-2 \cdot \frac{9}{16} \bigg)=4 \bigg(1-\frac{9}{8} \bigg)=4 \bigg(-\frac{1}{8} \bigg)=-\frac{1}{2}=-0{,}5{\small.}\)

Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle 4\cos\, 8\alpha=4(1-2\sin^2 4\alpha)=4 \bigg(1-2 \cdot \bigg( \frac{3}{4} \bigg)^2 \bigg)=4 \bigg(1-\frac{9}{8} \bigg)=-\frac{1}{2}=-0{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -0{,}5 {\small.} \)