Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):
\(\displaystyle \log_{7}(9-3x)+\log_{7}(3-2x)=4\log_{7}3{\small .}\)
Область допустимых значений (ОДЗ):
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}9-3x &> 0{\small ,}\\3-2x &> 0{\small .}\end{aligned}\right.\) \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &< \frac{9}{3}{\small ,}\\x &< \frac{3}{2}{\small ;}\end{aligned}\right. \) \(\displaystyle x<\frac{3}{2}{\small .}\)
По свойству логарифма
\(\displaystyle \color{red}n\log_a b=\log_a b^\color{red}n\) \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
\(\displaystyle 4\log_{7}3= \log_{7} 3^4= \log_{7} 81{\small .}\)
Используя свойство
\(\displaystyle \log_a \color{blue}x + \log_a \color{red}y=\log_a (\color{blue}x\cdot \color{red}y)\) \(\displaystyle x,y>0\) и \(\displaystyle a>0, a\,\cancel{=}\, 1{\small ,}\)
получаем
\(\displaystyle \log_{7}\color{blue}{(9-3x)}+\log_{7}\color{red}{(3-2x)}=\log_{7} (\color{blue}{(9-3x)}\cdot\color{red}{(3-2x)}){\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \log_{7}(9-3x)+\log_{7}(3-2x)=\log_{7} 81{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_{7}((9-3x)(3-2x))=\log_{7} 81{\small ,}\)
\(\displaystyle (9-3x)(3-2x)= 81{\small ,}\)
\(\displaystyle 27-18x-9x+6x^2= 81{\small ,}\)
\(\displaystyle 6x^2-27x-54= 0{\small ,} \phantom{1} \text{\large|} \color{red}{:3}\)
\(\displaystyle 2x^2-9x-18= 0{\small .}\)
Решим квадратное уравнение:
\(\displaystyle {\rm D}= (-9)^2-4\cdot2\cdot(-18)=81+144=225=15^2{\small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-9)-\sqrt{15^2}}{2\cdot2}=\frac{9-15}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}{\small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-9)+\sqrt{15^2}}{2\cdot2}=\frac{9+15}{4}=\frac{24}{4}=6{\small .}\)
Подставляем найденные значения \(\displaystyle x\) в ОДЗ: \(\displaystyle x<\frac{3}{2}{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}<\frac{3}{2}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle x=-\frac{3}{2}=-1{,}5\) удовлетворяет ОДЗ;
\(\displaystyle 6\color{red}>\frac{3}{2}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle x=6\) не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(\displaystyle x=-1{,}5{\small .} \)