1) График \(\displaystyle \rm I {\small.}\)

На графике видно, что гипербола \(\displaystyle \rm I\) проходит через точку с координатами \(\displaystyle (0{,}5;\, 0{,}5){\small : }\)

Проверим, лежит ли данная точка на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small ,}\) подставляя её координаты в уравнение:

\(\displaystyle 0{,}5=\frac{1}{2 \cdot 0{,}5}{\small ,}\)

\(\displaystyle 0{,}5=\frac{1}{1}{\small ,}\)

\(\displaystyle 0{,}5=1{\small .}\)

Получили неверное равенство.

Значит, данная точка не лежит на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

Таким образом, гипербола \(\displaystyle \rm I\) не является графиком функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

2) График \(\displaystyle \rm II {\small.}\)

На графике видно, что гипербола \(\displaystyle \rm II\) проходит через точку с координатами \(\displaystyle (0{,}5;\, 1){\small : }\)

Проверим, лежит ли данная точка на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small ,}\) подставляя её координаты в уравнение:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2 \cdot 0{,}5}{\small ,}\)

\(\displaystyle 1=\frac{1}{1}{\small ,}\)

\(\displaystyle 1 = 1{\small .}\)

Получили верное равенство.

Значит, данная точка лежит на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

Таким образом, гипербола \(\displaystyle \rm II\) является графиком функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

3) График \(\displaystyle \rm III {\small.}\)

На графике видно, что гипербола \(\displaystyle \rm III\) проходит через точку с координатами \(\displaystyle (1;1){\small : }\)

Проверим, лежит ли данная точка на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small ,}\) подставляя её координаты в уравнение:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2 \cdot 1}{\small ,}\)

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 1 =0{,}5{\small .}\)

Получили неверное равенство.

Значит, данная точка не лежит на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

Таким образом, гипербола \(\displaystyle \rm III\) не является графиком функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

4) График \(\displaystyle \rm IV {\small.}\)

На графике видно, что гипербола \(\displaystyle \rm IV\) проходит через точку с координатами \(\displaystyle (1{,}5;\, 1){\small : }\)

Проверим, лежит ли данная точка на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small ,}\) подставляя её координаты в уравнение:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2 \cdot 1{,}5}{\small ,}\)

\(\displaystyle 1=\frac{1}{3}{\small ,}\)

Получили неверное равенство.

Значит, данная точка не лежит на графике функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

Таким образом, гипербола \(\displaystyle \rm IV\) не является графиком функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

Следовательно, гипербола \(\displaystyle \rm II\) является графиком функции \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \rm II {\small .}\)