Чтобы найти точку, в которой \(\displaystyle f(x)\) равно \(\displaystyle 2{\small,}\)

• найдем неизвестные коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) в уравнении гиперболы,
• решим уравнение \(\displaystyle f(x)=2{\small.}\)

Найдем \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Для этого составим и решим систему уравнений относительно \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Заметим, что гипербола \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}\) проходит через точки \(\displaystyle (-2;\, -4)\) и \(\displaystyle (2;\, 1){\small.}\)

Значит, 

• если в уравнение гиперболы  \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}\) подставить \(\displaystyle \color{blue}{x=-2}\) и  \(\displaystyle \color{blue}{y=-4},\) то получится первое верное равенство (первое уравнение на \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\)),
• если в уравнение гиперболы  \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{x=2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{y=1},\) то получится второе верное равенство (второе уравнение на \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\)).

Получаем систему уравнений:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\color{blue}{-4}&=\frac{k}{\color{blue}{-2}+b}{\small,}\\\color{green}{1}&=\frac{k}{\color{green}{2}+b}{\small.}\end{aligned}\right.\)

Тогда уравнение гиперболы имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=\frac{3{,}2}{x+1{,}2}{\small.}\)

Найдём те значения \(\displaystyle x{\small,}\) при которых значение \(\displaystyle f(x)\) равно \(\displaystyle 2{\small.}\)

Все такие \(\displaystyle x\) удовлетворяют уравнению

\(\displaystyle 2=\frac{3{,}2}{x+1{,}2}{\small.}\)

Решим его.

Для \(\displaystyle x{ \small ,}\) не равных \(\displaystyle -1{,}2{ \small ,}\) можно домножить обе части уравнения на \(\displaystyle x+1{,}2{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle 2\cdot(x+1{,}2)=3{,}2{\small,}\)

\(\displaystyle x=\frac{3{,}2}{2}-1{,}2{\small,}\)

\(\displaystyle x=0{,}4{\small.}\)

Полученное значение \(\displaystyle x\) отлично от \(\displaystyle -1{,}2{ \small .}\)

Значит, \(\displaystyle f(0{,}4)=2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle f(0{,}4)=2{\small.}\)