График, изображенный на рисунке, имеет вертикальную асимптоту \(\displaystyle x=-2{\small.}\)

Выражение \(\displaystyle \frac{kx+a}{x+b}\) не определено ровно в одной точке \(\displaystyle x=-b{\small.}\) 

Значит, \(\displaystyle -b=-2{ \small ,}\) откуда \(\displaystyle b=2\) и функция \(\displaystyle f(x)\) имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=\frac{kx+a}{x+2}{\small.}\)

Найдем коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle a{\small.}\) Для этого составим систему уравнений относительно \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle a{\small,}\) а затем решим ее.

Составим систему уравнений относительно \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle a{\small.}\)

Заметим, что гипербола \(\displaystyle y=\frac{kx+a}{x+2}\) проходит через точки \(\displaystyle (-1;\, -2)\) и \(\displaystyle (3;\, 2){\small.}\)

Значит, 

• если в уравнение гиперболы \(\displaystyle \frac{kx+a}{x+2}\) подставить \(\displaystyle \color{blue}{x=-1}\) и  \(\displaystyle \color{blue}{y=-2},\) то получаем первое верное равенство (первое уравнение на \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle a\)),
• если в уравнение гиперболы \(\displaystyle \frac{kx+a}{x+2}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{x=3}\) и  \(\displaystyle \color{green}{y=2},\) то получаем второе верное равенство (второе уравнение на \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle a\)).

Тогда получаем:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\color{blue}{-2}&=\frac{k\cdot(\color{blue}{-1})+a}{\color{blue}{-1}+2}{\small,}\\\color{green}{2}&=\frac{k\cdot\color{green}{3}+a}{\color{green}{3}+2}{\small.}\end{aligned}\right.\)

Преобразуя, получаем:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}{-2}&={-k+a}{\small,}\\10&={3k}+a{\small.}\end{aligned}\right.\)

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения выразим \(\displaystyle a\) через \(\displaystyle k{\small:}\)

\(\displaystyle {-2}={-k+a}{\small,}\)

\(\displaystyle a=k-2{\small.}\)

Подставим во второе уравнение вместо \(\displaystyle a\) выражение \(\displaystyle \color{magenta}{k-2}{\small,}\) получим:

\(\displaystyle {10}=3k+\color{magenta}{k-2}{\small,}\)

\(\displaystyle 12=4k{\small,}\)

\(\displaystyle k=3{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle a=3-2=1{\small.}\)

Таким образом,

\(\displaystyle k=3\) и \(\displaystyle a=1{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle k=3{\small,}\) \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle b=2{\small.}\)