Запишем данное выражение в виде дроби:

\(\displaystyle \left(7x^3\right)^2 : \left(7x^{6}\right)=\frac{\left(7x^3\right)^2}{7x^{6}}{\small.}\)

Воспользуемся свойствами степеней \(\displaystyle (ab)^n=a^n\cdot b^n\) и  \(\displaystyle \left((a)^n\right)^m=a^{nm}{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{\left(7x^3\right)^2}{7x^{6}}=\frac{7^2\cdot \left(x^\color{blue}{ 3}\right)^\color{green}{ 2}}{7x^{6}}=\frac{7^2\cdot x^{\color{blue}{ 3}\cdot \color{green}{ 2}}}{7x^{6}}=\frac{7^2\cdot x^6}{7x^6}{\small.}\)

Сократим эту дробь на \(\displaystyle 7\) и на \(\displaystyle x^6{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{7^2\cdot x^6}{7x^6}=7{\small.}\)

Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \left(7x^3\right)^2 : \left(7x^{6}\right)=\frac{\left(7x^3\right)^2}{7x^{6}}=\frac{7^2\cdot x^6}{7x^6}=7{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 7 {\small.} \)