Решите уравнение (запишите множество корней через запятую; если решений нет, то ответом явлется пустое множество):
\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0{\small .}\)
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0\) равносильно системе уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}(x-1)(x-2)&=0{ \small ,}\\(x-2)(x-3)&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=1& \text{ \small или }x=2{\small ,}\\x\,\cancel{=}\,2& \text{ \small и }x\,\cancel{=}\,3{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x=1\) является решением, так как он не исключается знаменателем.
\(\displaystyle x=2\) не является решением, так как он исключается знаменателем (\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,2\)).
Таким образом, получаем, что
\(\displaystyle x=1 \) решение.
Ответ: \(\displaystyle 1 {\small .} \)