Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Рациональное уравнение типа \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\)

Задание

Решите уравнение (запишите множество корней через запятую; если решений нет, то ответом явлется пустое множество):

\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0{\small .}\)

Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0\) равносильно системе уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}(x-1)(x-2)&=0{ \small ,}\\(x-2)(x-3)&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=2\) решения уравнения \(\displaystyle (x-1)(x-2)=0\)

\(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=3\) решения уравнения \(\displaystyle (x-2)(x-3)=0\)

Следовательно, нашу систему можно переписать в виде

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=1& \text{ \small или }x=2{\small ,}\\x\,\cancel{=}\,2& \text{ \small и }x\,\cancel{=}\,3{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle x=1\) является решением, так как он не исключается знаменателем.

\(\displaystyle x=2\) не является решением, так как он исключается знаменателем (\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,2\)).

Таким образом, получаем, что

\(\displaystyle x=1 \)  решение.


Ответ: \(\displaystyle 1 {\small .} \)