Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Уравнение \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)= 2\sqrt{3}\)

Задание

Уравнение

 \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)

Решение

Приведем правую часть выражение к одной функции \(\displaystyle \cos(x){\small.}\)

Для этого используем формулу \(\displaystyle \color{blue}{\cos(2x)}=\color{blue}{2\cos^2(x)-1}{\small.}\)

Получаем:

 \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\color{blue}{\cos(2x)}+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small ,}\)

\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}(\color{blue}{2\cos^2(x)-1})+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small .}\)

Сделаем замену \(\displaystyle y=\cos x{\small :}\)

\(\displaystyle 4y^3-2\sqrt{3}(2y^2-1)+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)

Раскроем скобки:

\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+2\sqrt{3}+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)

Перенесем все влево:

 \(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0{\small .}\)

Сокращая, получаем:

 \(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y=0{\small .}\)


Решим полученное уравнение.

Вынесем \(\displaystyle y \) за скобку:

 \(\displaystyle y(4y^2-4\sqrt{3}y+3)=0{\small .}\)

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:

 \(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small .}\)

Квадратное уравнение \(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0\) имеет один корень

\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)

Решим уравнение

\(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small.}\)

Дискриминант

\(\displaystyle {\rm D}=(4\sqrt{3})^2-4\cdot 4\cdot 3=0\)

и единственный корень

\(\displaystyle y=\frac{4\sqrt{3}+0}{2\cdot4}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)

Таким образом,

\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle y=\cos(x){ \small ,}\) то получаем элементарные тригонометрические уравнения

\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)