Уравнение \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{13\pi}{6}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle 2- \frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{6}+2n- \frac{1}{6}\leqslant \frac{7}{2}- \frac{1}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{11}{6}\leqslant2n \leqslant \frac{20}{6}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{11}{12}\leqslant n \leqslant \frac{20}{12}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1,\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot 1=\frac{13\pi}{6}{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant -\frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant -\frac{1}{6}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Прибавим к каждой части \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{6}\leqslant -\frac{1}{6}+2n + \frac{1}{6}\leqslant \frac{7}{2}+ \frac{1}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{13}{6}\leqslant2n \leqslant \frac{22}{6}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{13}{12}\leqslant n \leqslant \frac{22}{12}{ \small .}\)
Целых чисел в данном промежутке НЕТ.
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) имеет решение \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}{\small .}\)