Используя формулы сокращенного умножения, разложите многочлен на множители:
Перепишем данное нам выражение:
\(\displaystyle 9z^{\,8}-z^{\,6}-12z^{\,4}+4=9z^{\,8}-12z^{\,4}+4-z^{\,6}{\small . } \)
Свернем выражение \(\displaystyle 9z^{\,8}-12z^{\,4}+4{\small , } \) воспользовавшись формулой квадрата разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Тогда
\(\displaystyle 9z^{\,8}-12z^{\,4}+4=\left(3z^{\,4}\right)^2-2\cdot 3z^{\,4}\cdot 2+2^2= \left(3z^{\,4}-2\right)^2{\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle 9z^{\,8}-12z^{\,4}+4-z^{\,6}= \left(3z^{\,4}-2\right)^2-z^{\,6}{\small . } \)
Разложим получившееся выражение на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов.
Разность квадратов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}=(a+b\,)(a-b\,).\)
Имеем:
\(\displaystyle \left(3z^{\,4}-2\right)^2-z^{\,6}=\left(3z^{\,4}-2+z^{\,3}\right)\left(3z^{\,4}-2-z^{\,3}\right){\small . } \)
Или, переписывая многочлены в скобках в стандартном виде, получаем:
\(\displaystyle \left(3z^{\,4}-2+z^{\,3}\right)\left(3z^{\,4}-2-z^{\,3}\right)=\left(3z^{\,4}+z^{\,3}-2\right)\left(3z^{\,4}-z^{\,3}-2\right){\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle 9z^{\,8}-z^{\,6}-12z^{\,4}+4=\left(3z^{\,4}+z^{\,3}-2\right)\left(3z^{\,4}-z^{\,3}-2\right){\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle \left(3z^{\,4}+z^{\,3}-2\right)\left(3z^{\,4}-z^{\,3}-2\right){\small . } \)