Формуланы қолдана отырып, толық квадратты таңдайық.

\(\displaystyle x^2+bx\) өрнегін екі еселенген көбейтінді анық жазылатындай етіп қайта жазайық:

\(\displaystyle x^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ bx}{ \color{red}{2} }=x^2+\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{b}{2}{\small .}\)

Формула мен өрнегімізді салыстырайық:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{b}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

 \(\displaystyle \color{blue}{a} \rightarrow \color{blue}{ x }\) және \(\displaystyle \color{green}{b} \rightarrow \color{green}{ \frac{b}{2}}{\small }\) аламыз,  және қосындының квадратын алу үшін төменгі өрнекке \(\displaystyle \color{green}{b^2}\rightarrow\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small ,}\) қосу керек.

яғни

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{b}{2}}\,+\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small .}\end{aligned}\)

Сондықтан

\(\displaystyle x^2+bx+c=0\)

өрнегін екі жағынан да \(\displaystyle \color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small }\) қосылғышымен толықтырайық:

\(\displaystyle x^2+bx+\color{green}{\frac{b^2}{4}}+c=\color{green}{\frac{b^2}{4}}{\small ,}\)

және сол жақтағы қосындының квадратын анық жазайық:

\(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}+c=\frac{b^2}{4}{\small ; }\)

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2+c=\frac{b^2}{4}{\small . }\)

 \(\displaystyle c \) оңға көшірейік:

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c{\small , }\)

\(\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2-4c}{4}{\small . }\)

Алынған теңдеуді шартта көрсетілгенмен салыстырайық:

\(\displaystyle \begin{aligned} \left(x+\frac{b}{2}\right)^2&=\frac{b^2-4c}{4} \\\left(x+\frac{b}{2}\right)^2&=\frac{\color{red}{\rm D}}{4} \end{aligned} \)

Демек,

\(\displaystyle \color{red}{\rm D}=\color{blue}{ b^2-4c}{\small . } \)

Жауабы: \(\displaystyle \color{red}{\rm D}=\color{blue}{ b^2-4c}{\small . } \)