Пусть \(\displaystyle S\) – вершина исходного конуса, \(\displaystyle O\) – центр основания, \(\displaystyle SA\) – образующая, тогда \(\displaystyle OA\) – радиус основания.

Пусть \(\displaystyle O_1\) – точка высоты, через которую проведено сечение, \(\displaystyle A_1\) – точка пересечения образующей \(\displaystyle SA\) и секущей плоскостью.

Угол \(\displaystyle SOA\) прямой как угол между высотой и радиусом основания конуса.

Угол \(\displaystyle SO_1 A_1\) прямой, так как сечение параллельно основанию конуса.

Обозначим через \(\displaystyle h\) и \(\displaystyle r\) высоту и радиус основания исходного конуса. Тогда \(\displaystyle SO=h{\small,}\) \(\displaystyle OA=r{\small.}\) 

Пусть \(\displaystyle V_1\) – объём отсекаемого конуса с вершиной \(\displaystyle S\) и центром основания \(\displaystyle O_1{\small.}\)

По условию  \(\displaystyle SO_1=\frac{h}{4}{\small ,}\) объём исходного конуса \(\displaystyle V=128{\small .}\) 

Требуется найти   \(\displaystyle {V_1}{ \small.}\)

Найдем:

1. радиус сечения \(\displaystyle {O_1A_1}{ \small,}\) 
2. отношение объёмов \(\displaystyle \frac{V}{V_1}{ \small,}\)
3. объём \(\displaystyle {V_1}{ \small.}\)

Первый способ

Сначала найдем тангенс угла \(\displaystyle OSA\) (угла между высотой конуса и образующей), а затем найдем радиус сечения.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OSA{ \small.}\)  Угол \(\displaystyle SOA\) прямой, \(\displaystyle OA=r{\small,}\) \(\displaystyle SO=h{\small.}\)  По определению,  \(\displaystyle \tg \angle OSA = \frac{OA}{OS}{ \small.}\) Тогда  \(\displaystyle \tg \angle OSA = \frac{r}{h}{ \small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle O_1SA_1{ \small.}\)  Угол \(\displaystyle SO_1A_1\) прямой, \(\displaystyle SO_1=\frac{h}{4}{\small.}\)  Так как \(\displaystyle \angle O_1SA_1 = \angle OSA { \small,}\) то \(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \tg \angle OSA =\frac{r}{h}{ \small.}\) По определению,  \(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \frac{O_1A_1}{O_1S}{ \small.}\)

Тогда 

\(\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{O_1A_1}{\frac{h}{4}}{ \small,}\)

\(\displaystyle {O_1A_1}={\frac{h}{4}}\cdot \frac{r}{h}=\frac{r}{4}{ \small.}\)

Второй способ

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle OSA\) и \(\displaystyle O_1SA_1{ \small.}\)  Они подобны по двум углам:  \(\displaystyle \angle SO_1A_1 = \angle SOA=90^{\circ} { \small,}\) угол \(\displaystyle S\) общий. Тогда \(\displaystyle \frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1S}{OS} { \small,}\) \(\displaystyle \frac{O_1A_1}{r}=\frac{\frac{h}{4}}{h} { \small,}\) \(\displaystyle O_1A_1 = r\cdot \frac{\frac{h}{4}}{h}=\frac{r}{4}{ \small.}\)

Значит,

\(\displaystyle {V_1}=\frac{V}{64}{ \small.}\)

Так как \(\displaystyle V=128{ \small,}\) то

\(\displaystyle V_1=\frac{V}{64}=\frac{128}{64}=2{ \small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 64{ \small .}\)