Радиус основания конуса равен \(\displaystyle 21{ \small ,}\) высота равна \(\displaystyle 14{ \small.}\) Через точку высоты, находящуюся на расстоянии \(\displaystyle 6\) от вершины, проведено сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Найдите радиус сечения.
Пусть \(\displaystyle S\) – вершина исходного конуса, \(\displaystyle O\) – центр основания, \(\displaystyle SA\) – образующая, тогда \(\displaystyle OA\) – радиус основания.
Пусть \(\displaystyle O_1\) – точка высоты, через которую проведено сечение, \(\displaystyle A_1\) – точка пересечения образующей \(\displaystyle SA\) и секущей плоскостью.
Угол \(\displaystyle SOA\) прямой как угол между высотой и радиусом основания конуса.
Угол \(\displaystyle SO_1 A_1\) прямой, так как сечение параллельно основанию конуса.
По условию
радиус основания исходного конуса \(\displaystyle OA=21{\small,}\)
высота исходного конуса \(\displaystyle SO=14{\small,}\)
\(\displaystyle SO_1=6{\small.}\)
Требуется найти
радиус сечения \(\displaystyle O_1 A_1{ \small.} \)
Первый способ
Сначала найдем тангенс угла \(\displaystyle OSA\) (угла между высотой конуса и образующей), а затем найдем радиус сечения.
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle O_1SA_1{ \small.}\) Угол \(\displaystyle SO_1A_1\) прямой, \(\displaystyle SO_1=6{\small.}\) Так как \(\displaystyle \angle O_1SA_1 = \angle OSA { \small,}\) то \(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \tg \angle OSA =1{,}5{ \small.}\)
|  |
По определению,
\(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \frac{O_1A_1}{O_1S}{ \small.}\)
Тогда
\(\displaystyle 1{,}5 = \frac{O_1A_1}{6}{ \small,}\)
\(\displaystyle {O_1A_1}={6}\cdot 1{,}5=9{ \small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{ \small .}\)
Второй способ
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle OSA\) и \(\displaystyle O_1SA_1{ \small.}\) Они подобны по двум углам:
Тогда \(\displaystyle \frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1S}{OS} { \small,}\) \(\displaystyle \frac{O_1A_1}{21}=\frac{6}{14} { \small,}\) \(\displaystyle O_1A_1 = 21\cdot \frac{6}{14}=9{ \small.}\) | |
Ответ: \(\displaystyle 9{ \small .}\)