Заметим, что объем жидкости равен объему конуса, отсекаемого от данного конуса плоскостью, проходящей через точку высоты конуса, находящейся на расстоянии трети высоты от вершины, параллельно основанию.

После наполнения сосуда доверху объём жидкости будет равен объёму исходного конуса.

Наша задача – найти разность объёма сосуда и объёма отсекаемого конуса.

Пусть \(\displaystyle S\) – вершина исходного конуса, \(\displaystyle O\) – центр основания, \(\displaystyle SA\) – образующая, тогда \(\displaystyle OA\) – радиус основания.

Пусть \(\displaystyle O_1\) – точка высоты, через которую проведено сечение, \(\displaystyle A_1\) – точка пересечения образующей \(\displaystyle SA\) и секущей плоскостью.

Угол \(\displaystyle SOA\) прямой как угол между высотой и радиусом основания конуса.

Угол \(\displaystyle SO_1 A_1\) прямой, так как сечение параллельно основанию конуса.

Обозначим через \(\displaystyle h\) и \(\displaystyle r\) высоту и радиус основания исходного конуса. Тогда \(\displaystyle SO=h{\small,}\) \(\displaystyle OA=r{\small.}\) 

Пусть \(\displaystyle V\) – объём исходного конуса, \(\displaystyle V_1\) – объём отсекаемого конуса с вершиной \(\displaystyle S\) и центром основания \(\displaystyle O_1{\small.}\)

По условию  \(\displaystyle SO_1=\frac{h}{4}{\small ,}\) \(\displaystyle V_1=10{\small .}\) 

Требуется найти   \(\displaystyle {V-V_1}{ \small.}\)

Сначала найдем радиус сечения \(\displaystyle {O_1A_1}{ \small,}\) затем найдем отношение объёмов \(\displaystyle \frac{V}{V_1}{ \small,}\) а затем найдем \(\displaystyle {V-V_1}{ \small.}\)

Первый способ

Сначала найдем тангенс угла \(\displaystyle OSA\) (угла между высотой конуса и образующей), а затем найдем радиус сечения.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OSA{ \small.}\)  Угол \(\displaystyle SOA\) прямой, \(\displaystyle OA=r{\small,}\) \(\displaystyle SO=h{\small.}\)  По определению,  \(\displaystyle \tg \angle OSA = \frac{OA}{OS}{ \small.}\) Тогда  \(\displaystyle \tg \angle OSA = \frac{r}{h}{ \small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle O_1SA_1{ \small.}\)  Угол \(\displaystyle SO_1A_1\) прямой, \(\displaystyle SO_1=\frac{h}{4}{\small.}\)  Так как \(\displaystyle \angle O_1SA_1 = \angle OSA { \small,}\) то \(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \tg \angle OSA =\frac{r}{h}{ \small.}\) По определению,  \(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \frac{O_1A_1}{O_1S}{ \small.}\)

Тогда 

\(\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{O_1A_1}{\frac{h}{4}}{ \small,}\)

\(\displaystyle {O_1A_1}={\frac{h}{4}}\cdot \frac{r}{h}=\frac{r}{4}{ \small.}\)

Второй способ

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle OSA\) и \(\displaystyle O_1SA_1{ \small.}\)  Они подобны по двум углам:  \(\displaystyle \angle SO_1A_1 = \angle SOA=90^{\circ} { \small,}\) угол \(\displaystyle S\) общий. Тогда \(\displaystyle \frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1S}{OS} { \small,}\) \(\displaystyle \frac{O_1A_1}{r}=\frac{\frac{h}{4}}{h} { \small,}\) \(\displaystyle O_1A_1 = r\cdot \frac{\frac{h}{4}}{h}=\frac{r}{4}{ \small.}\)

Значит,

\(\displaystyle {V}={V}\cdot {64}{ \small.}\)

Так как \(\displaystyle V_1=10{ \small,}\) то

\(\displaystyle V={10}\cdot {64}={640}{ \small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle V-V_1={640}-10=630{ \small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 630{ \small .}\)