Сұйықтықтың көлемі табанға параллель биіктіктің үштен бір бөлігінде орналасқан конустың биіктік нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен берілген конусты қиятын конустың көлеміне тең екенін ескереміз . .
Ыдысты жоғарғы жағына дейін толтырғаннан кейін сұйықтықтың көлемі бастапқы конустың көлеміне тең болады .
Біздің міндетіміз - ыдыстың көлемі мен қиылған конустың көлемі арасындағы айырманы табу .
\(\displaystyle S\) бастапқы конустың төбесі , \(\displaystyle O\) табан центрі , \(\displaystyle SA\) – жасаушы, ал \(\displaystyle OA\) – табан радиусы болсын
\(\displaystyle O_1\) – қима жүргізілетін биіктік нүктесі, ал \(\displaystyle A_1\) – \(\displaystyle SA\) жасаушы мен қиюшы жазықтықтың қиылысу нүктесі болсын
\(\displaystyle SOA\) бұрышы конус табанының биіктігі мен радиусы арасындағы бұрышқа тең
\(\displaystyle SO_1 A_1\) бұрышы қима конустың табанына параллель болғандықтан тік
Бастапқы конус табанының биіктігі мен радиусын \(\displaystyle h\) және \(\displaystyle R\) арқылы белгілейік . Сонда
\(\displaystyle V\) – бастапқы конустың көлемі, \(\displaystyle V_1\) – төбесі \(\displaystyle S\) пен табан центрі \(\displaystyle O_1\) болатын қиылған конустың көлемі болсын.
Шарт бойынша
\(\displaystyle {V-V_1}{ \small}\) табу қажет.
Алдымен \(\displaystyle O_1A_1 \) қимасының радиусын табайық , содан кейін көлемінің қатынасын , сосын табамыз.
\(\displaystyle O_1A_1 = \frac{r}{4}{ \small.}\)
Бірінші тәсіл
Алдымен \(\displaystyle OSA\) бұрышының тангенсін табамыз ( конустың биіктігі мен жасаушы арасындағы бұрыш ), содан кейін қиманың радиусын табамыз .
\(\displaystyle OSA{ \small}\) үшбұрыштарын қарастырайық
\(\displaystyle SOA\) бұрышы - тік
Анықтама бойынша
\(\displaystyle \tg \angle OSA = \frac{OA}{OS}{ \small.}\)
Сонда
\(\displaystyle \tg \angle OSA = \frac{r}{h}{ \small.}\)
\(\displaystyle O_1SA_1{ \small}\) үшбұрыштарын қарастырайық
\(\displaystyle SO_1A_1\) бұрышы - тік
Демек
\(\displaystyle \angle O_1SA_1 = \angle OSA { \small,}\)
сонда
\(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \tg \angle OSA =\frac{r}{h}{ \small.}\)
Анықтама бойынша
\(\displaystyle \tg \angle O_1SA_1 = \frac{O_1A_1}{O_1S}{ \small.}\)
Сонда
\(\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{O_1A_1}{\frac{h}{4}}{ \small,}\)
\(\displaystyle {O_1A_1}={\frac{h}{4}}\cdot \frac{r}{h}=\frac{r}{4}{ \small.}\)
Екінші тәсіл
\(\displaystyle OSA\) және үшбұрыштарын қарастырайық
Олар екі бұрыш бойынша ұқсас
\(\displaystyle \angle SO_1A_1 = \angle SOA=90^{\circ} { \small,}\) \(\displaystyle S\) бұрыш ортақ Сонда
\(\displaystyle \frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1S}{OS} { \small,}\)
\(\displaystyle \frac{O_1A_1}{r}=\frac{\frac{h}{4}}{h} { \small,}\)
\(\displaystyle O_1A_1 = r\cdot \frac{\frac{h}{4}}{h}=\frac{r}{4}{ \small.}\)
\(\displaystyle \frac{V}{V_1}= {64}{ \small.}\)
Конустың көлемін табу үшін келесі формуланы қолданамыз
Правило Конустың көлемі \(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi {R^2}\cdot {H}{ \small ,}\)
Мұндағы \(\displaystyle R\) – конус табанының радиусы , \(\displaystyle h\) – конус биіктігі
Қиылған конуста сондықтан
\(\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{r}{4}\right)^2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{\pi r^2 h}{192}{ \small.}{ \small }\)
Бастапқы конуста сондықтан
\(\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}\cdot {h}=\frac{\pi r^2 h}{3}{ \small.}{ \small }\)
Сонда
\(\displaystyle \frac{V}{V_1}=\frac{\frac{\pi r^2 h}{3}}{\frac{\pi r^2 h}{192}}=64{ \small.}\)
яғни
\(\displaystyle {V}={V}\cdot {64}{ \small.}\)
\(\displaystyle V_1=10{ \small}\) болғандықтан , онда
\(\displaystyle V={10}\cdot {64}={640}{ \small.}\)
Демек
\(\displaystyle V-V_1={640}-10=630{ \small.}\)
Жауабы
