Кез келген \(\displaystyle a, \,b\) натурал сандар үшін дұрыс:
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small ,}\)
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}\)
(мұнда \(\displaystyle a^{\,2}-b \ge 0\)).
Келесідей болса
\(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2=a^{\,2}+2\cdot a\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{a^{\,2}+b}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small ,}\)
Онда бұл \(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\) және \(\displaystyle a^{\,2}+b\) өрнек \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small }\) ерекшеленеді.
Және егер \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2\) сандық мәні аз болса, оларды шамамен тең деп санауға болады, яғни
\(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^{\,2}+b{\small .}\)
Екі бөліктің түбірін шығара отырып, аламыз:
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small .}\)
Ұқсас келесіні аламыз:
\(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2=a^{\,2}-2\cdot a\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{a^{\,2}-b}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)
Бұл осы \(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2\) және \(\displaystyle a^{\,2}-b\) өрнектердің \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small }\) ерекшеленетінін көрсетеді
Және егер \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2\) сандық мәні аз болса, оларды шамамен тең деп санауға болады, яғни
\(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^{\,2}-b{\small .}\)
Екі бөліктің түбірін шығара отырып, аламыз:
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}{\small .}\)