Задание
Правило
Возведение обеих частей неравенства в квадрат
Для любых неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) верно:
\(\displaystyle a >b \) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a^{\,2}>b^{\,2} \)
или
\(\displaystyle a <b \) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small . } \)
Решение
Чтобы доказать правило, воспользуемся свойством умножения неравенств для неотрицательных чисел \(\displaystyle a,\, b,\,x,\, y{\small .}\)
Это свойство утверждает, что если \(\displaystyle a<b\) и \(\displaystyle x<y{\small ,}\) то \(\displaystyle a\cdot x<b \cdot y{\small .}\)
Тогда, применяя это правило к одному неравенству, получаем:
- если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small ;}\)
- если \(\displaystyle a=b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}=b^{\,2}{\small ;}\)
- если \(\displaystyle a>b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}>b^{\,2}{\small .}\)
Что и доказывает наше правило.