Для любых натуральных чисел \(\displaystyle a, \,b\) верно:
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small ,}\)
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}\)
(здесь \(\displaystyle a^{\,2}-b \ge 0\)).
Так как
\(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2=a^{\,2}+2\cdot a\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{a^{\,2}+b}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small ,}\)
то это говорит, что выражения \(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\) и \(\displaystyle a^{\,2}+b\) отличаются на \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)
И если числовое значение \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2\) мало, то их можно считать приближенно равными, то есть
\(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^{\,2}+b{\small .}\)
Извлекая корень из обеих частей, получаем:
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small .}\)
Аналогично, получаем:
\(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2=a^{\,2}-2\cdot a\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{a^{\,2}-b}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)
Это говорит, что выражения \(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2\) и \(\displaystyle a^{\,2}-b\) отличаются на \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)
И если числовое значение \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2\) мало, то их можно считать приближенно равными, то есть
\(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^{\,2}-b{\small .}\)
Извлекая корень из обеих частей, получаем:
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}{\small .}\)