Корень из произведения для неотрицательных чисел
Для любых неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b} \)
Более общее утверждение для неотрицательно произведения \(\displaystyle ab{\small .}\)
Корень из произведения
Если произведение \(\displaystyle ab\) неотрицательно, то
\(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ |a|}\cdot\sqrt{ |b|} \)
Докажем, что для неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) верно \(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b}{\small .} \)
По определению арифметического корня, \(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}\) это неотрицательное число квадрат которого равен \(\displaystyle ab{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) неотрицательные числа, то арифметические корни \(\displaystyle \sqrt{ a}\) и \(\displaystyle \cdot\sqrt{ b} \) существуют.
Возведем произведение \(\displaystyle \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b} \) в квадрат,
\(\displaystyle (\sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b})^{\,2}=(\sqrt{ a})^{\,2}\cdot (\sqrt{ b})^{\,2}, \)
согласно определению арифметического корня, \(\displaystyle (\sqrt{ a})^{\,2}=a\) и \(\displaystyle (\sqrt{ b})^{\,2}=b{\small .}\) Тогда
\(\displaystyle (\sqrt{ a})^{\,2}\cdot (\sqrt{ b})^{\,2}=ab. \)
Поэтому,
\(\displaystyle (\sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b})^{\,2}=ab{\small .} \)