Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Лекции

Задание

Правило

Корень из произведения для неотрицательных чисел

Для любых неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) выполняется

\(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b} \)

Более общее утверждение для неотрицательно произведения \(\displaystyle ab{\small .}\)

Правило

Корень из произведения

Если произведение \(\displaystyle ab\) неотрицательно, то

\(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ |a|}\cdot\sqrt{ |b|} \)

Решение

Докажем, что для неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) верно \(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b}{\small .} \)

По определению арифметического корня, \(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}\)  это неотрицательное число квадрат которого равен \(\displaystyle ab{\small .}\)

Так как \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) неотрицательные числа, то арифметические корни \(\displaystyle \sqrt{ a}\) и \(\displaystyle \cdot\sqrt{ b} \) существуют.

Возведем произведение \(\displaystyle \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b} \) в квадрат,

\(\displaystyle (\sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b})^{\,2}=(\sqrt{ a})^{\,2}\cdot (\sqrt{ b})^{\,2}, \)

согласно определению арифметического корня, \(\displaystyle (\sqrt{ a})^{\,2}=a\) и  \(\displaystyle (\sqrt{ b})^{\,2}=b{\small .}\) Тогда

\(\displaystyle (\sqrt{ a})^{\,2}\cdot (\sqrt{ b})^{\,2}=ab. \)

Поэтому,

\(\displaystyle (\sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b})^{\,2}=ab{\small .} \)