1-тәсіл.

Квадраттардағы барлық көбейткіштерді квадрат түбірлердің астынан шығарайық. Ол үшін алдымен \(\displaystyle 512\) көбейткіштерге бөлейік:

\(\displaystyle 512=2^9{\small .}\)

Әрбір көбейткішті ең үлкен жұп дәрежеде бөлейік:

\(\displaystyle 512=2^9=2^{\color{blue}{8}+1}=2^{\color{blue}{8}}\cdot 2^1=\color{blue}{2^8} \cdot 2{\small .}\)

Онда

\(\displaystyle \sqrt{512}=\sqrt{\color{blue}{2^8}\cdot 2}=\sqrt{\color{blue}{2^8}}\cdot \sqrt{2}=\color{blue}{2^4}\cdot\sqrt{2}{\small .}\)

Енді  \(\displaystyle 8{\small }\) көбейткіштерге бөлейік:  

\(\displaystyle 8=2^3{\small .}\)

Әрбір көбейткішті ең үлкен жұп дәрежеде бөлейік:

\(\displaystyle 8=2^3=2^{\color{green}{2}+1}=2^{\color{green}{2}}\cdot 2^1=\color{green}{2^2} \cdot 2{\small .}\)

Онда

\(\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{\color{green}{2^2}\cdot 2}=\sqrt{\color{green}{2^2}}\cdot \sqrt{2}=\color{green}{2}\sqrt{2}{\small .}\)

Бөлшектің алымы мен бөлгішіне түрлендірілген иррационал өрнектерді ауыстырайық:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=\frac{2^4\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}{\small .}\)

Бұл бөлшекті \(\displaystyle 2\sqrt{2}{\small }\) ге қысқартуға болады:

\(\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=8{\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=8{\small .}\)

Жауап: \(\displaystyle 8 {\small .} \)

2-тәсіл.

 Бөлшек үшін квадрат түбірдің қасиетін пайдаланып, өрнегімізді қайта жазайық:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}= \sqrt{\frac{ 512}{ 8 }}{\small . } \)

Түбір астындағы бөлшекті азайтайық:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{ 512}{ 8 }}= \sqrt{\frac{ 2\cdot 256}{ 2\cdot 4 }}= \sqrt{\frac{ 256}{ 4 }}= \sqrt{\frac{ 2\cdot 128}{ 2\cdot 2}}= \sqrt{64} {\small . }\)

\(\displaystyle 64 \) толық квадрат болғандықтан, одан квадрат түбірді алу арқылы  аламыз:

\(\displaystyle \sqrt{64}=8{\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=8{\small .}\)

Жауап: \(\displaystyle 8 {\small .} \)